Q14 Matemática  (IMO Shortlist 2010)

Dado um inteiro positivo $k$ e outros dois inteiros $b>w>1.$ Existem dois colares de pérolas, um colar de $b$ pérolas negras e um colar de $w$ pérolas brancas. O comprimento de uma corda é o número de pérolas nela. Um corta essas cordas em algumas etapas pelas seguintes regras. Em cada etapa: (i) As cordas são ordenadas por seus comprimentos em ordem não crescente. Se houver algumas cordas de comprimentos iguais, as brancas precedem as pretas. Em seguida, são escolhidas as primeiras $k$ (se consistirem em mais de uma pérola); se houver menos de $k$ strings maiores que 1, então escolhe-se todas elas. (ii) Em seguida, corta-se cada corda escolhida em duas partes que diferem em comprimento de no máximo uma. (Por exemplo, se houver cordões de $5,4,4,2$ pérolas negras, cordões de $8,4,3$ pérolas brancas e $k=4,$ então os cordões de 8 brancos, 5 pretos, 4 brancos e 4 pérolas negras são cortadas nas partes $(4,4),(3,2),(2,2)$ e $(2,2)$ respectivamente.) O processo pára imediatamente após a etapa quando um primeiro branco isolado pérola aparece. Prove que nesta fase ainda existirá um colar de pelo menos duas pérolas negras. Proposto por Bill Sands, Thao Do, Canadá