Q13 Matemática (IMO Shortlist 2010)

13 | IMO Shortlist | 2010 | Matemática

$n \geq 4$ jogadores participaram de um torneio de tênis. Quaisquer dois jogadores jogaram exatamente um jogo e não houve empate. Chamamos uma empresa de quatro jogadores de $ba d$ se um jogador foi derrotado pelos outros três jogadores, e cada um desses três jogadores ganhou um jogo e perdeu outro jogo entre si. Suponha que não haja má companhia neste torneio. Sejam $w_{i}$ e $l_{i}$ respectivamente o número de vitórias e derrotas do $i$ -th jogador. Prove que $i = 1 \sum n (w_{i} - l_{i})^{3} \geq 0.$ Proposto por Sung Yun Kim, Coreia do Sul