Q12 Matemática (IMO Shortlist 2010)

12 | IMO Shortlist | 2010 | Matemática

Cada uma das seis caixas $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ , $B_{5}$ , $B_{6}$ contém inicialmente uma moeda. As seguintes operações são permitidas Tipo 1) Escolha uma caixa não vazia $B_{j}$ , $1 \leq j \leq 5$ , remova uma moeda de $B_{j}$ e adicione duas moedas a $B_{j + 1}$ ; Tipo 2) Escolha uma caixa não vazia $B_{k}$ , $1 \leq k \leq 4$ , remova uma moeda de $B_{k}$ e troque o conteúdo (talvez vazio) das caixas $B_{k + 1}$ e $B_{k + 2}$ . Determine se existe uma sequência finita de operações dos tipos permitidos, de modo que as cinco caixas $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ , $B_{5}$ fiquem vazias, enquanto a caixa $B_{6}$ contém exatamente $201 0^{201 0^{2010}}$ moedas. Proposto por Hans Zantema, Holanda