Q25 Matemática  (IMO Shortlist 2009)

Um inteiro positivo $N$ é chamado balanceado, se $N=1$ ou se $N$ puder ser escrito como um produto de um número par de primos não necessariamente distintos. Dados inteiros positivos $a$ e $b$, considere o polinômio $P$ definido por $P(x)=(x+a)(x+b)$. (a) Prove que existem inteiros positivos distintos $a$ e $b$ tais que todos os números $P(1)$, $P(2)$,$\dots$, $P(50)$ são balanceados. (b) Prove que se $P(n)$ for balanceado para todos os inteiros positivos $n$, então $a=b$. Proposto por Jorge Tipe, Peru