Q17 Matemática  (IMO Shortlist 2009)

Seja $ABC$ um triângulo com circuncentro $O$. Os pontos $P$ e $Q$ são pontos internos dos lados $CA$ e $AB$, respectivamente. Sejam $K,L$ e $M$ os pontos médios dos segmentos $BP,CQ$ e $PQ$. respectivamente, e seja $\Gamma$ a circunferência que passa por $K,L$ e $M$. Suponha que a reta $PQ$ seja tangente ao círculo $\Gamma$. Prove que $OP=OQ.$ Proposto por Sergei Berlov, Rússia