Q24 Matemática  (IMO Shortlist 2008)

Seja $n$ um inteiro positivo. Mostre que os números $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2^n-1}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2^n-1}{1}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2^n-1}{2}\right),\dots ,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2^n-1}{2^{n-1}-1}\right)$$ são módulos congruentes $2^n$ para $1$, $3$, $5$, $\dots$, $2^n-1$ em alguma ordem. Proposto por Duskan Dukic, Sérvia