Q4 Matemática  (IMO Shortlist 2008)

Para um inteiro $m$, denote por $t(m)$ o número único em $\{1,2,3\}$ tal que $m+t(m)$ é um múltiplo de $3$. Uma função $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ satisfaz $f(-1)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=-1$ e $f\left(2^n+m\right)=f\left(2^n-t(m)\right)-f(m)$ para todos os inteiros $m$, $n\ge 0$ com $2^n>m$. Prove que $f(3p)\ge 0$ vale para todos os inteiros $p\ge 0$. Proposto por Gerhard Woeginger, Áustria