Q20 Matemática  (IMO Shortlist 2007)

Seja $ABC$ um triângulo fixo e sejam $A_1$, $B_1$, $C_1$ os pontos médios dos lados $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Seja $P$ um ponto variável na circunferência. Deixe as linhas $P{A}_1$, $P{B}_1$, $P{C}_1$ encontrarem o círculo circunscrito novamente em $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, respectivamente. Suponha que os pontos $A$, $B$, $C$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ sejam distintos e as linhas $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ formem um triangulo. Prove que a área desse triângulo não depende de $P$. Autor: Christopher Bradley, Reino Unido