Q11 Matemática (IMO Shortlist 2007)

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Seja $A_{0} = (a_{1}, \dots, a_{n})$ uma sequência finita de números reais. Para cada $k \geq 0$ , da sequência $A_{k} = (x_{1}, \dots, x_{k})$ construímos uma nova sequência $A_{k + 1}$ da seguinte maneira. 1. Escolhemos uma partição ${1, \dots, n} = I \cup J$ , onde $I$ e $J$ são dois conjuntos disjuntos, tal que a expressão $i \in I \sum x_{i} - j \in J \sum x_{j}$ atinge o menor valor. (Permitimos que $I$ ou $J$ estejam vazios; neste caso, a soma correspondente é 0.) Se houver várias partições, uma é escolhida arbitrariamente. 2. Definimos $A_{k + 1} = (y_{1}, \dots, y_{n})$ onde $y_{i} = x_{i} + 1$ se $i \in I$ e $y_{i} = x_{i} - 1$ se $i \in J$ . Prove que para algum $k$ , a sequência $A_{k}$ contém um elemento $x$ tal que $∣ x ∣ \geq \frac{n}{2}$ . Autor: Omid Hatami, Irã