Q1 Matemática  (IMO Shortlist 2007)

Os números reais $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ são fornecidos. Para cada $i$, $(1\le i\le n)$, defina $$d_i=\max \{a_j\mid 1\le j\le i\}-\min \{a_j\mid i\le j\le n\}$$ e seja $d=\max \{d_i\mid 1\le i\le n\}$. (a) Prove que, para quaisquer números reais $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$, $$\max \{|x_i-a_i|\mid 1\le i\le n\}\ge \frac{d}{2}.(\ast )$$ (b) Mostre que existem números reais $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$ tais que a igualdade vale em (*). Autor: Michael Albert, Nova Zelândia