Q23 Matemática (IMO Shortlist 2006)

23 | IMO Shortlist | 2006 | Matemática

Os pontos $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ são escolhidos nos lados $BC$ , $C A$ , $A B$ de um triângulo $A BC$ respectivamente. As circunferências dos triângulos $A B_{1} C_{1}$ , $B C_{1} A_{1}$ , $C A_{1} B_{1}$ intersectam a circunferência do triângulo $A BC$ novamente nos pontos $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ respectivamente ( $A_{2} \neq = A, B_{2} \neq = B, C_{2} \neq = C$ ). Os pontos $A_{3}$ , $B_{3}$ , $C_{3}$ são simétricos a $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ em relação aos pontos médios de os lados $BC$ , $C A$ , $A B$ respectivamente. Prove que os triângulos $A_{2} B_{2} C_{2}$ e $A_{3} B_{3} C_{3}$ são semelhantes.