Q9 Matemática  (IMO Shortlist 2006)

Seja $S$ um conjunto finito de pontos no plano tal que três deles não estejam em uma linha. Para cada polígono convexo $P$ cujos vértices estão em $S$, seja $a(P)$ o número de vértices de $P$, e seja $b(P)$ o número de pontos de $S$ que estão fora de $P$. Um segmento de reta, um ponto e o conjunto vazio são considerados polígonos convexos de vértices $2$, $1$ e $0$ respectivamente. Prove que para todo número real $x$ $$\sum _P{x}^{a(P)}(1-x{)}^{b(P)}=1,$$ onde a soma é tomada sobre todos polígonos convexos com vértices em $S$. Formulação alternativa: Seja $M$ um ponto finito definido no plano e três pontos não são colineares. Um subconjunto $A$ de $M$ será chamado de redondo se seus elementos forem o conjunto de vértices de um convexo $A-$gon $V(A).$ Para cada subconjunto redondo seja $r(A)$ o número de pontos de $M$ que são exteriores ao convexo $A-$gon $V(A).$ Subconjuntos com $0,1$ e 2 elementos são sempre redondos, seus polígonos correspondentes são o conjunto vazio, um ponto ou um segmento, respectivamente (para o qual todos os outros pontos que não são vértices do polígono são exteriores). Para cada subconjunto redondo $A$ de $M$ construa o polinômio $$P_A(x)=x^{|A|}(1-x{)}^{r(A)}.$$ Mostre que a soma dos polinômios para todos os subconjuntos redondos é exatamente o polinômio $P(x)=1.$ Proposto por Federico Ardila, Colômbia