Q7 Matemática  (IMO Shortlist 2006)

Temos $n\ge 2$ lâmpadas $L_1,...,L_n$ em uma linha, cada um deles sendo ativado ou desativado. A cada segundo modificamos simultaneamente o estado de cada lâmpada da seguinte forma: se a lâmpada $L_i$ e seus vizinhos (apenas um vizinho para $i=1$ ou $i=n$, dois vizinhos para outros $i$) estão no mesmo estado, então $L_i$ é desligado; – caso contrário, $L_i$ está ligado. Inicialmente todas as lâmpadas estão apagadas, exceto a mais à esquerda que está acesa. $(a)$ Prove que existem infinitos inteiros $n$ para os quais todas as lâmpadas eventualmente se apagarão. $(b)$ Prove que existem infinitos inteiros $n$ para os quais as lâmpadas nunca estarão todas apagadas.