Q3 Matemática  (IMO Shortlist 2006)

sequência $c_0,c_1,...,c_n,...$ é definido por $c_0=1,c_1=0$ e $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$ para $n\ge 0$. Considere o conjunto $S$ de pares ordenados $(x,y)$ para os quais existe um conjunto finito $J$ de inteiros positivos tal que $x={\sum }_{j\in J}{c}_j$, $y={\sum }_{j\in J}{c}_{j-1}$. Prove que existem números reais $\alpha$, $\beta$ e $M$ com a seguinte propriedade: Um par ordenado de inteiros não negativos $(x,y)$ satisfaz a desigualdade $$m<\alpha x+\beta y<M$$ se e somente se $(x,y)\in S$. Observação: Uma soma sobre os elementos do conjunto vazio é considerada $0$.