Q1 Matemática  (IMO Shortlist 2006)

Uma sequência de números reais $a_0,a_1,a_2,\dots$ é definida pela fórmula $$a_{i+1}=\lfloor a_i\rfloor \cdot ⟨a_i⟩\text{for}i\ge 0;$$aqui $a_0$ é um número real arbitrário, $\lfloor a_i\rfloor$ denota o maior inteiro que não excede $a_i$ e $⟨a_i⟩=a_i-\lfloor a_i\rfloor$. Prove que $a_i=a_{i+2}$ para $i$ é suficientemente grande. Proposto por Harmel Nestra, Estônia