Q27 Matemática  (IMO Shortlist 2005)

Denote por $d(n)$ o número de divisores do inteiro positivo $n$. Um inteiro positivo $n$ é chamado altamente divisível se $d(n)>d(m)$ para todos os inteiros positivos $m<n$. Dois inteiros altamente divisíveis $m$ e $n$ com $m<n$ são chamados consecutivos se não existir um inteiro altamente divisível $s$ que satisfaça $m<s<n$. (a) Mostre que há apenas um número finito de pares de inteiros consecutivos altamente divisíveis da forma $(a,b)$ com $a\mid b$. (b) Mostre que para todo número primo $p$ existem infinitos números inteiros positivos altamente divisíveis $r$ tais que $pr$ também é altamente divisível.