Q10 Matemática  (IMO Shortlist 2005)

Seja $n\ge 3$ um inteiro fixo. Cada lado e cada diagonal de um $n$-gon regular é rotulado com um número do conjunto $\left\{1;2;...;r\right\}$ de tal forma que as duas condições a seguir sejam atendidas: 1. Cada número do conjunto $\left\{1;2;...;r\right\}$ ocorre pelo menos uma vez como um rótulo. 2. Em cada triângulo formado por três vértices do $n$-gon, dois dos lados são rotulados com o mesmo número, e esse número é maior que o rótulo do terceiro lado. (a) Encontre o máximo $r$ para o qual tal rotulação é possível. (b) Versão mais difícil (IMO Shortlist 2005): Para este valor máximo de $r$, quantos desses rótulos existem? Versão mais fácil (5º TST alemão 2006) - contém a resposta para a versão mais difícilVersão mais fácil (5º TST alemão 2006): Mostre que, para este valor máximo de $r$, existem exatamente $\frac{n!\left(n-1\right)!}{2^{n-1}}$ rótulos possíveis. Proposto por Federico Ardila, Colômbia