Q39 Matemática  (IMO Shortlist 2004)

Há $10.001$ estudantes em uma universidade. Alguns alunos se unem para formar vários clubes (um aluno pode pertencer a diferentes clubes). Alguns clubes se unem para formar várias sociedades (um clube pode pertencer a diferentes sociedades). Há um total de $k$ sociedades. Suponha que as seguintes condições sejam válidas: i.) Cada par de alunos está em exatamente um clube. ii.) Para cada aluno e cada sociedade, o aluno está em exatamente um clube da sociedade. iii.) Cada clube tem um número ímpar de alunos. Além disso, um clube com $2m+1$ alunos ($m$ é um número inteiro positivo) está em exatamente $m$ sociedades. Encontre todos os valores possíveis de $k$. Proposto por Guihua Gong, Porto Rico