Q16 Matemática  (IMO Shortlist 2004)

função $f$ do conjunto $\mathbb{N}$ de inteiros positivos em si mesma é definida pela igualdade $$f(n)=\sum _{k=1}^n\gcd (k,n),n\in \mathbb{N}.$$ a) Prove que $f(mn)=f(m)f(n)$ para cada dois primos $m,n\in \mathbb{N}$. b) Prove que para cada $a\in \mathbb{N}$ a equação $f(x)=ax$ tem solução. c) Encontre todos os $a\in \mathbb{N}$ tais que a equação $f(x)=ax$ tenha uma única solução.