Q31 Matemática (IMO Shortlist 2003)

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Considere pares de sequências de números reais positivos $a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \dots, b_{1} \geq b_{2} \geq b_{3} \geq \dots$ e as somas $A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}, B_{n} = b_{1} + \dots + b_{n}; n = 1, 2, \dots .$ Para qualquer par, defina $c_{n} = min {a_{i}, b_{i}}$ e $C_{n} = c_{1} + c d o t s + c_{n}$ , $n = 1, 2, \dots$ . (1) Existe um par $(a_{i})_{i \geq 1}$ , $(b_{i})_{i \geq 1}$ tal que as sequências $(A_{n})_{n \geq 1}$ e $(B_{n})_{n \geq 1}$ são ilimitadas enquanto a sequência $(C_{n})_{n \geq 1}$ é limitada? (2) A resposta à pergunta (1) muda assumindo adicionalmente que $b_{i} = 1/ i$ , $i = 1, 2, \dots$ ? Justifique sua resposta.