Q27 Matemática  (IMO Shortlist 2003)

Seja $a_{ij}$ $i=1,2,3$; $j=1,2,3$ sejam números reais tais que $a_{ij}$ seja positivo para $i=j$ e negativo para $i\ne j$. Prove a existência de números reais positivos $c_1$, $c_2$, $c_3$ tais que os números $$a_{11}{c}_1+a_{12}{c}_2+a_{13}{c}_3,a_{21}{c}_1+a_{22}{c}_2+a_{23}{c}_3,a_{31}{c}_1+a_{32}{c}_2+a_{33}{c}_3$$são todos negativos, todos positivos ou todos zero. Proposto por Kiran Kedlaya, EUA