Q24 Matemática (IMO Shortlist 2003)

24 | IMO Shortlist | 2003 | Matemática

A sequência $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2},$ $\dots$ é definida da seguinte forma: $a_{0} = 2, a_{k + 1} = 2 a_{k}^{2} - 1 for k \geq 0.$ Prove que se um primo ímpar $p$ divide $a_{n}$ , então $2^{n + 3}$ divide $p^{2} - 1$ . commentOi pessoal , Aqui está um bom problema: Seja dada uma sequência $a_{n}$ tal que $a_{0} = 2$ e $a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} - 1$ . Mostre que se $p$ é um primo ímpar tal que $p ∣ a_{n}$ então temos $p^{2} \equiv 1 (mod 2^{n + 3})$ Aqui estão algumas outras questões propostas por mim: Prove ou refute que: 1) $g c d (n, a_{n}) = 1$ 2) para cada número primo ímpar $p$ temos $a_{m} \equiv \pm 1 (mod p)$ onde $m = \frac{p ^{2} - 1}{2 ^{k}}$ onde $k = 1$ ou $2$ Obrigado kiu si u Editado por Orl.