Q18 Matemática  (IMO Shortlist 2003)

Seja $b$ um inteiro maior que $5$. Para cada inteiro positivo $n$, considere o número $$x_n=\underset{n-1}{\underbrace{11\cdots 1}}\underset{n}{\underbrace{22\cdots 2}}5,$$ escrito na base $b$. Prove que a seguinte condição vale se e somente se $b=10$: existe um inteiro positivo $M$ tal que para qualquer inteiro $n$ maior que $M$, o número $x_n$ é um quadrado perfeito. Proposto por Laurentiu Panaitopol, Romênia