Q12 Matemática  (IMO Shortlist 2003)

Seja $ABC$ um triângulo com semiperímetro $s$ e raio $r$. Os semicírculos com diâmetros $BC$, $CA$, $AB$ são desenhados na parte externa do triângulo $ABC$. O círculo tangente a todos esses três semicírculos tem raio $t$. Prove que $$\frac{s}{2}<t\le \frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r.$$ Formulação alternativa. Em um triângulo $ABC$, construa círculos com diâmetros $BC$, $CA$ e $AB$, respectivamente. Construa um círculo $w$ tangente externamente a esses três círculos. Seja o raio desse círculo $w$ $t$. Prove: $\frac{s}{2}<t\le \frac{s}{2}+\frac{1}{2}\left(2-\sqrt{3}\right)r$, onde $r$ é o raio interno e $s$ é o semiperímetro do triângulo $ABC$. Proposto por Dirk Laurie, África do Sul