Q7 Matemática  (IMO Shortlist 2003)

Sejam ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$, ${\Gamma }_4$ círculos distintos tais que ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_3$ sejam externamente tangentes em $P$ e ${\Gamma }_2$, $Gamm{a}_4$ são externamente tangentes no mesmo ponto $P$. Suponha que ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$; ${\Gamma }_2$ e ${\Gamma }_3$; ${\Gamma }_3$ e ${\Gamma }_4$; ${\Gamma }_4$ e ${\Gamma }_1$ se encontram em $A$, $B$, $C$, $D$, respectivamente, e que todos esses pontos são diferentes de $P$. Prove que $$\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{P{B}^2}{P{D}^2}.$$