Q5 Matemática  (IMO Shortlist 2003)

Seja $ABC$ um triângulo e seja $P$ um ponto em seu interior. Denote por $D$, $E$, $F$ os pés das perpendiculares de $P$ às linhas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Suponha que $$A{P}^2+P{D}^2=B{P}^2+P{E}^2=C{P}^2+P{F}^2.$$Denote por $I_A$, $I_B$, $I_C$ os excentros do triângulo $ABC$. Prove que $P$ é o circuncentro do triângulo $I_A{I}_B{I}_C$. Proposto por CR Pranesachar, Índia