Q6 Matemática  (IMO Shortlist 2001)

Seja $M$ um ponto no interior do triângulo $ABC$. Seja $A^{\prime }$ sobre $BC$ com $M{A}^{\prime }$ perpendicular a $BC$. Defina $B^{\prime }$ em $CA$ e $C^{\prime }$ em $AB$ de forma semelhante. Defina $$p(M)=\frac{M{A}^{\prime }\cdot M{B}^{\prime }\cdot M{C}^{\prime }}{MA\cdot MB\cdot MC}.$$ Determine, com prova, a localização de $M$ tal que $p(M)$ seja maximal. Deixe $\mu (ABC)$ denotar este valor máximo. Para quais triângulos $ABC$ o valor de $\mu (ABC)$ é máximo?