Q25 Matemática  (IMO Shortlist 2000)

Seja $n\ge 4$ um inteiro positivo fixo. Dado um conjunto $S=\{P_1,P_2,\dots ,P_n\}$ de $n$ pontos no plano tal que três não são colineares nem quatro concíclicos, seja $a_t,$ $1\le t\le n,$ é o número de círculos $P_i{P}_j{P}_k$ que contém $P_t$ em seu interior, e seja $$m(S)=a_1+a_2+\cdots +a_n.$$Prove que existe um inteiro positivo $f(n),$ dependendo apenas de $n,$ tal que os pontos de $S$ são os vértices de um polígono convexo se e somente se $m(S)=f(n).$