Q13 Matemática  (IMO Shortlist 2000)

As tangentes em $B$ e $A$ à circunferência de um triângulo angulado agudo $ABC$ encontram a tangente em $C$ em $T$ e $U$, respectivamente. $AT$ encontra $BC$ em $P$, e $Q$ é o ponto médio de $AP$; $BU$ encontra $CA$ em $R$, e $S$ é o ponto médio de $BR$. Prove que $\angle ABQ=\angle BAS$. Determine, em termos de razões dos comprimentos dos lados, os triângulos para os quais esse ângulo é máximo.