Q6 Matemática (IMO Shortlist 2000)

06 | IMO Shortlist | 2000 | Matemática

Um conjunto não vazio $A$ de números reais é chamado de $B_{3}$ -conjunto se as condições $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} \in A$ e $a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{4} + a_{5} + a_{6}$ implicam que as sequências $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ e $(a_{4}, a_{5}, a_{6})$ são idênticas até uma permutação. Sejam $A = {a_{0} = 0 < a_{1} < a_{2} < \dots}$ , $B = {b_{0} = 0 < b_{1} < b_{2} < \dots}$ sequências infinitas de números reais com $D (A) = D (B),$ onde, para um conjunto $X$ de números reais, $D (X)$ denota o conjunto de diferenças ${∣ x y ∣ ∣ x, y \in X} .$ Prove que se $A$ é um conjunto $B_{3}$ , então $A = B .$