Q4 Matemática  (IMO Shortlist 2000)

A função $F$ é definida no conjunto de inteiros não negativos e recebe valores inteiros não negativos satisfazendo as seguintes condições: para todo $n\ge 0,$ (i) $F(4n)=F(2n)+F(n),$ (ii) $F(4n+2)=F(4n)+1,$ (iii) $F(2n+1)=F(2n)+1.$ Prove que para cada inteiro positivo $m,$ o número de inteiros $n$ com $0\le n<2^m$ e $F(4n)=F(3n)$ é $F(2^{m+1}).$