Q32 Matemática  (IMO Shortlist 1999)

Seja $A$ um conjunto de $N$ resíduos $(\mathrm{mod}{N}^2)$. Prove que existe um conjunto $B$ de $N$ resíduos $(\mathrm{mod}{N}^2)$ tal que $A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$ contém pelo menos metade de todos os resíduos $(\mathrm{mod}{N}^2)$.