Q29 Matemática  (IMO Shortlist 1999)

Seja $n\ge 1$ um inteiro. Um caminho de $(0,0)$ para $(n,n)$ no plano $xy$ é uma cadeia de movimentos consecutivos de unidades para a direita (movimento denotado por $E$) ou para cima (movimento denotado por $N$), todos os movimentos sendo feitos dentro do semiplano $x\ge y$. Um passo em um caminho é a ocorrência de dois movimentos consecutivos da forma $EN$. Mostre que o número de caminhos de $(0,0)$ a $(n,n)$ que contém exatamente $s$ passos $(n\ge s\ge 1)$ é $$\frac{1}{s}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{s-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s-1}\right).$$