Q20 Matemática (IMO Shortlist 1999)

20 | IMO Shortlist | 1999 | Matemática

Denote por S o conjunto de todos os primos tal que a representação decimal de $\frac{1}{p}$ tem o período fundamental divisível por 3. Para todo $p \in S$ tal que $\frac{1}{p}$ tem o período fundamental $3 r$ pode-se escrever $\frac{1}{p} = 0, a_{1} a_{2} \dots a_{3 r} a_{1} a_{2} \dots a_{3 r} \dots,$ onde $r = r (p)$ ; para todo $p \in S$ e todo inteiro $k \geq 1$ defina $f (k, p)$ por $f (k, p) = a_{k} + a_{k + r (p)} + a_{k + 2. r (p)}$ a) Prove que $S$ é infinito. b) Encontre o valor mais alto de $f (k, p)$ para $k \geq 1$ e $p \in S$