Q7 Matemática  (IMO Shortlist 1999)

Seja $ABC$ um triângulo, $\Omega$ seu círculo e ${\Omega }_a,{\Omega }_b,{\Omega }_c$ três círculos ortogonais a $\Omega$ passando por $(B,C),(A,C)$ e $(A,B)$ respectivamente. Os círculos ${\Omega }_a$ e ${\Omega }_b$ se encontram novamente em $C^{\prime }$; da mesma forma obtemos os pontos $B^{\prime }$ e $A^{\prime }$. Prove que o raio da circunferência de $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ é metade do raio de $\Omega$.