Q35 Matemática  (IMO Shortlist 1998)

Seja $n$ um inteiro maior que 2. Diz-se que um inteiro positivo é atingível se for 1 ou puder ser obtido de 1 por uma sequência de operações com as seguintes propriedades: 1.) A primeira operação é adição ou multiplicação . 2.) Depois disso, as adições e multiplicações são usadas alternadamente. 3.) Em cada adição, pode-se escolher independentemente se deseja adicionar 2 ou $n$ 4.) Em cada multiplicação, pode-se escolher independentemente se deseja multiplicar por 2 ou por $n$. Um inteiro positivo que não pode ser assim obtido é dito inatingível. a.) Prove que se $n\ge 9$, existem infinitos inteiros positivos inatingíveis. b.) Prove que se $n=3$, todos os inteiros positivos, exceto 7, são atingíveis.