Q3 Matemática  (IMO Shortlist 1997)

Para cada conjunto finito $U$ de vetores não nulos no plano definimos $l(U)$ como o comprimento do vetor que é a soma de todos os vetores em $U.$ Dado um conjunto finito $V$ de vetores não nulos no plano, um subconjunto $B$ de $V$ é dito máximo se $l(B)$ for maior ou igual a $l(A)$ para cada subconjunto não vazio $A$ de $V.$ ( a) Construa conjuntos de 4 e 5 vetores que tenham 8 e 10 subconjuntos máximos, respectivamente. (b) Mostre que, para qualquer conjunto $V$ consistindo de vetores $n\ge 1$ o número de subconjuntos máximos é menor ou igual a $2n.$