Q16 Matemática (IMO Shortlist 1995)

16 | IMO Shortlist | 1995 | Matemática

Seja $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ um tetraedro, $G$ seu centróide, e $A_{1}^{'}, A_{2}^{'}, A_{3}^{'},$ e $A_{4}^{'}$ os pontos onde a circunsfera de $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ intercepta $G A_{1}, G A_{2}, G A_{3},$ e $G A_{4},$ respectivamente. Prove que $G A_{1} \cdot G A_{2} \cdot G A_{3} \cdot G A_{\cdot} 4 \leq G A_{1}^{'} \cdot G A_{2}^{'} \cdot G A_{3}^{'} \cdot G A_{4}^{'}$ e $\frac{1}{G A _{1}^{'}} + \frac{1}{G A _{2}^{'}} + \frac{1}{G A _{3}^{'}} + \frac{1}{G A _{4}^{'}} \leq \frac{1}{G A _{1}} + \frac{1}{G A _{2}} + \frac{1}{G A _{3}} + \frac{1}{G A _{4}} .$