Q10 Matemática  (IMO Shortlist 1994)

Um círculo $C$ com centro $O.$ e uma linha $L$ que não toca o círculo $C.$ $OQ$ é perpendicular a $L,$ $Q$ está em $L.$ $P$ está em $L,$ desenhe duas tangentes $L_1,L_2$ ao círculo $C.$ $QA,QB$ são perpendiculares a $L_1,L_2$ respectivamente. ($A$ em $L_1,$ $B$ em $L_2$). Prove que a reta $AB$ intercepta $QO$ em um ponto fixo. Formulação original: Uma reta $l$ não encontra um círculo $\omega$ com centro $O.$ $E$ é o ponto em $l$ tal que $OE$ é perpendicular a $l.$ $M$ é qualquer ponto em $l$ diferente de $E.$ As tangentes de $M$ a $\omega$ o tocam em $A$ e $B.$ $C$ é o ponto em $MA$ tal que $EC$ é perpendicular para $MA.$ $D$ é o ponto em $MB$ tal que $ED$ é perpendicular a $MB.$ A reta $CD$ corta $OE$ em $F.$ Prove que a localização de $F$ é independente do de $M.$