Q5 Matemática  (IMO Shortlist 1994)

Seja $f(x)=\frac{x^2+1}{2x}$ para $x\ne 0.$ Defina $f^{(0)}(x)=x$ e $f^{(n))}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$ para todos os inteiros positivos $n$ e $x\ne 0.$ Prove que para todos os inteiros não negativos $n$ e $x\ne \{-1,0,1\}$ $$\frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac{1}{f\left({\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{2n}\right)}.$$