Q4 Matemática  (IMO Shortlist 1994)

Seja $\mathbb{R}$ o conjunto de todos os números reais e ${\mathbb{R}}^{+}$ o subconjunto de todos os positivos. Sejam dados $\alpha$ e $\beta$ elementos em $\mathbb{R},$ não necessariamente distintos. Encontre todas as funções $f:{\mathbb{R}}^{+}\mapsto \mathbb{R}$ tal que $$f(x)f(y)=y^{\alpha }f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta }f\left(\frac{y}{2}\right)\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}.$$