Q26 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

Seja $S$ o conjunto de todos os pares $(m,n)$ de inteiros positivos relativamente primos $m,n$ com $n$ par e $m<n.$ Para $s=(m,n)\in S$ escreva $n=2^k\cdot n_o$ onde $k,n_0$ são inteiros positivos com $n_0$ ímpar e defina $$f(s)=(n_0,m+n-n_0).$$ Prove que $f$ é uma função de $S$ a $S$ e que para cada $s=(m,n)\in S,$ existe um inteiro positivo $t\le \frac{m+n+1}{4}$ tal que $$f^t(s)=s,$$ onde $$f^t(s)=\underset{t\text{ vezes}}{\underbrace{(f\circ f\circ \cdots \circ f)}}(s).$$ Se $m+n$ é um número primo que não divide $2^k-1$ por $k=1,2,\dots ,m+n-2,$ prova que o menor valor $t$ que satisfaz as condições acima são $\left[\frac{m+n+1}{4}\right]$ onde $\left[x\right]$ denota o maior inteiro $\le x.$