Q17 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

Seja o triângulo $ABC$ tal que seu raio circunscrito é $R=1.$ Seja $r$ o raio de $ABC$ e $p$ o raio do triângulo órtico $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ do triângulo $ABC.$ Prove que $$p\le 1-\frac{1}{3\cdot (1+r{)}^2}.$$ Problema semelhante postado por Pascual2005Deixe $ABC$ ser um triângulo com circumradius $R$ e inradius $r$. Se $p$ é o raio do triângulo órtico do triângulo $ABC$, mostre que $\frac{p}{R}\le 1-\frac{{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2}{3}$. Observação. O triângulo órtico do triângulo $ABC$ é definido como o triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo $ABC$. SOLUÇÃO 1 por mecrazywong: $p=2R\cos A\cos B\cos C,1+\frac{r}{R}=1+4\mathrm{sen}A/2\mathrm{sen}B/2\mathrm{sen}C/2=cosA+\cos B+\cos C$. Assim, a desigualdade é equivalente a $6\cos A\cos B\cos C+(\cos A+\cos B+\cos C{)}^2\le 3$. Mas isso é fácil já que $\cos A+\cos B+\cos C\le 3/2,\cos A\cos B\cos C\le 1/8$. SOLUÇÃO 2 de Virgil Nicula: Observo o raio $r^{\prime }$ de um triângulo órtico. Deve provar a desigualdade $\frac{r^{\prime }}{R}\le 1-\frac{1}{3}{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2.$ Das relações conhecidas $r^{\prime }=2R\cos A\cos B\cos C$ e $\cos A\cos B\cos C\le \frac{1}{8}$ resultados $\frac{r^{\prime }}{R}\le \frac{1}{4}.$ Mas $\frac{1}{4}\le 1-frac13{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2⟺\frac{1}{3}{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2\le \frac{3}{4}⟺$ ${\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^2⟺1+\frac{r}{R}\le \frac{3}{2}⟺\frac{r}{R}\le \frac{1}{2}⟺2r\le R$ (true) . Portanto, $\frac{r^{\prime }}{R}\le \frac{1}{4}\le 1-\frac{1}{3}{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2⟹\frac{r^{\prime }}{R}\le 1-\frac{1}{3}{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2.$ SOLUTION 3 por darij grinberg: Eu sei que isso não é bem uma referência ML, mas o problema foi discutido nas mensagens Hyacinthos #6951, #6978, #6981, #6982, #6985, #6986 (particularmente a última mensagem).