Q16 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

Um círculo $S$ bissecta um círculo $S^{\prime }$ se ele corta $S^{\prime }$ em extremidades opostas de um diâmetro. $S_A$, $S_B$,$S_C$ são círculos com centros distintos $A,B,C$ (respectivamente). Mostre que $A,B,C$ são colineares se não existe um círculo único $S$ que bissetriz cada $S_A$, $S_B$,$S_C$ . Mostre que se houver mais de um círculo $S$ que bissecte cada um de $S_A$, $S_B$,$S_C$ , então todos esses círculos passam por dois pontos fixos. Encontre esses pontos. Afirmação Original: Diz-se que um círculo $S$ corta um círculo $\Sigma$ diametralmente se e somente se sua corda comum é um diâmetro de $\Sigma .$ Sejam $S_A,S_B,S_C$ três círculos com centros distintos $A,B,C$ respectivamente. Prove que $A,B,C$ são colineares se e somente se não existe um único círculo $S$ que corta cada $S_A,S_B,S_C$ diametralmente. Prove ainda que se existe mais de um círculo $S$ que corta cada $S_A,S_B,S_C$ diametralmente, então todos esses círculos $S$ passam por dois pontos fixos. Localize esses pontos em relação aos círculos $S_A,S_B,S_C.$