Q13 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

Seja $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$ e $A_0=(a_{01},a_{02},\dots ,a_{0n})$ qualquer $n-$tupla de números naturais , tal que $0\le a_{0i}\le i-1,$ for $i=1,\dots ,n.$ $n-$tuples $A_1=(a_{11},a_{12},\dots ,a_{1n}),A_2=(a_{21},a_{22},\dots ,a_{2n}),\dots$ são definidos por: $a_{i+1,j}=Card\{a_{eu,l}|1\le l\le j-1,a_{i,l}\ge a_{i,j}\},$ para $i\in \mathbb{N}$ e $j=1,\dots ,n.$ Prove que existe $k\in \mathbb{N},$ tal que $A_{k+2}=A_k.$