Q10 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

a) Mostre que o conjunto ${\mathbb{Q}}^{+}$ de todos os racionais positivos pode ser dividido em três subconjuntos disjuntos. $A,B,C$ satisfazendo as seguintes condições: $$BA=B;\&B^2=C;\&BC=A;$$ onde $HK$ representa o conjunto $\{hk:h\in H,k\in K\}$ para quaisquer dois subconjuntos $H,K$ de ${\mathbb{Q}}^{+}$ e $H^2$ significa $HH.$ b) Mostre que todos os cubos racionais positivos estão em $A$ para tal partição de ${\mathbb{Q}}^{+}.$ c) Encontre tal partição ${\mathbb{Q}}^{+}=A\cup B\cup C$ com a propriedade de que para nenhum inteiro positivo $n\le 34,$ tanto $n$ quanto $n+1$ estão em $A,$ ou seja, $$\text{min}\{n\in \mathbb{N}:n\in A,n+1\in A\}>34.$$