Q8 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

Seja $c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{R}$ com $n\ge 2$ tal que $$0\le \sum _{i=1}^n{c}_i\le n.$$ Mostre que podemos encontrar inteiros $k_1,\dots ,k_n$ tais que $$\sum _{i=1}^n{k}_i=0$$ e $$1-n\le c_i+n\cdot k_i\le n$$ para todo $i=1,\dots ,n.$ Outra formulação: Sejam $x_1,\dots ,x_n,$ com $n\ge 2$ números reais tais que $$|x_1+\dots +x_n|\le n.$$ Mostre que existem inteiros $k_1,\dots ,k_n$ tais que $$|k_1+\dots +k_n|=0.$$ e $$|x_i+2\cdot n\cdot k_i|\le 2\cdot n-1$$ para todo $i=1,\dots ,n.$ Para provar isso, denote $c_i=\frac{1+x_i}{2}$ para $i=1,\dots ,n,$ etc.