Q5 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

$a>0$ e $b$, $c$ são inteiros tais que $ac$ – $b^2$ é um inteiro positivo P sem quadrados. Por exemplo, P pode ser $3\ast 5$, mas não $3^2\ast 5$. Seja $f(n)$ o número de pares de inteiros $d,e$ tais que $a{d}^2+2bde+c{e}^2=n$. Mostre que $f(n)$ é finito e que $f(n)=f(P^{k}n)$ para todo inteiro positivo $k$. Declaração Original: Sejam $a,b,c$ dados inteiros $a>0,$ $ac-b^2=P=P_1\cdots P_n$ onde $P_1\cdots P_n$ são números primos (distintos). Seja $M(n)$ o número de pares de inteiros $(x,y)$ para os quais $$a{x}^2+2bxy+c{y}^2=n.$$Prove que $M(n)$ é finito e $M(n)=M(P_k\cdot n)$ para todo inteiro $k\ge 0.$ Observe que o "$n$" em $P_N$ e o "$n$" em $M(n)$ não precisa ser o mesmo.