Q1 Matemática  (IMO Shortlist 1993)

Defina uma sequência $⟨f(n){⟩}_{n=1}^{\infty }$ de inteiros positivos por $f(1)=1$ e $$f(n)=\{\begin{array}{ll}f(n-1)-n& \text{ if }f(n-1)>n;\\ f(n-1)+n& \text{ if }f(n-1)\le n,\end{array}$$para $n\ge 2.$ Seja $S=\{n\in \mathbb{N}\mid f(n)=1993\}.$ (i) Prove que $S$ é um conjunto infinito. (ii) Encontre o menor inteiro positivo em $S.$ (iii) Se todos os elementos de $S$ forem escritos em ordem crescente como $$n_1<n_2<n_3<\dots ,$$ mostre que $$\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{n_{i+1}}{n_i}=3.$$