Q18 Matemática  (IMO Shortlist 1992)

Seja $\lfloor x\rfloor$ o maior inteiro menor ou igual a $x.$ Escolha qualquer $x_1$ em $[0,1)$ e defina a sequência $x_1,x_2,x_3,\dots$ por $x_{n+1}=0$ se $x_n=0$ e $x_{n+1}=\frac{1}{x_n}-\lfloor \frac{1}{x_n}\rfloor$ por outro lado. Prove que $$x_1+x_2+\dots +x_n<\frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_3}+\dots +\frac{F_n}{F_{n+1}},$$ onde $F_1=F_2=1$ e $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ para $n\ge 1.$